剖面似然非对称置信区间的基本思想

在 Prism 7 之前，Prism 只报告始终围绕拟合优度值对称的渐近置信区间。

对于某些模型中的某些参数，不对称区间能更好地表达精度。Prism（从第 7 版开始）在非线性回归对话框的 置信区间 选项卡中提供了剖面似然置信区间。其缺点是很多人都不熟悉，而且计算时间较长（但如果计算机运算速度较快，除非拥有庞大的数据集并选择用户自定义方程，否则可能根本不会注意到）。

这个想法非常简单。额外的平方和检验比较两个模型。

•更复杂的模型就是你选择的模型。整页结果都是针对这个模型的。

•简单模型将一个参数固定值。我们的想法是将该参数固定为不同的值，直到找到置信限（如下所述）。

下面是一个非常简化的算法，可以解释该方法背后的思路。定义平方和为 SS，自由度为 DF。

1.将变异性 Delta 设为您要找到 CI的参数的 SE（然后对其他参数重复）。

2.将参数固定为其拟合优度值减去Delta 值，然后再次运行拟合，让所有其他参数值都发生变化。记录这次拟合的新 SS 和 DF。

3.使用额外的平方和 F 检验，比较原始拟合优度和强制参数减去 delta 的拟合优度。第二次拟合将一个参数保持为恒定值，因此拟合的参数少了一个，自由度多了一个。计算 P 值。

a.如果 P 值小于 0.05，说明 delta 太大。将其变小，回到第 2 步。

b.如果 P 值大于 0.05，则 delta 太小。将其调大并返回第 2 步。

c.如果 P 值非常接近 0.05，那么置信下限等于原始拟合优度值减去当前的 delta 值。

4.将参数固定为最佳拟合值加上delta，再次运行拟合，让所有其他参数值都发生变化。记录这次拟合的 SS 和 DF。

5.使用额外的平方和 F 检验，比较原始拟合优度和强制参数 增加delta 的拟合优度。计算 P 值。

a.如果 P 值小于 0.05，说明 delta 过大。将其减小并返回第 4 步。

b.如果 P 值大于 0.05，则 delta 太小。将其调大并返回第 4 步。

c.如果 P 值非常接近 0.05，则置信上限等于原始拟合优度值加上当前的 delta 值。

6.对每个参数重复上述步骤。

这样就为一个参数建立了 100*（1-α）% 的置信区间（α 设为 0.05 的常见情况下为 95% 的置信区间）。如果要检验 "真实参数值等于其拟合优度值 "的零假设，那么对于置信区间内的任何参数值，该零假设都不会被拒绝。

更正式地说：定义 θbf 为参数的拟合优度值，θhyp 为参数的假设不同值。对于置信区间内的任何 θhyp 值，θbf = θhyp 的零假设在 α 显著性水平下不会被拒绝，但对于置信区间外的任何 θhyp 值，θbf = θhyp 的零假设将被拒绝。

Prism 如何计算剖面似然置信区间

Prism 实际上使用 Venzon 和 Moolgavkar(1) 为每个参数详细说明的步骤。这种方法为每个参数创建一个剖面似然。对于参数的各种可能值，算法拟合曲线（优化其他参数）并确定数据来自该模型的可能性。置信区间是指可能性不会比最大值低太多的参数值范围。当然，"过低 "是有严格定义的。

最大似然值是指参数的拟合优度值。在文本中绘制这些剖面似然图时，通常绘制的是似然的负对数。最大似然与最小 -log(似然)相同，因此在这些图中，拟合优度值是 Y 处于最低值时的 X 值。

如果假设所有残差都服从高斯分布，那么最大似然就等于最小平方和。

注释

• 计算置信上限的最终 delta 值可能不等于（或甚至接近）计算下限的最终 delta 值。这就是置信区间可能与拟合优度值不对称的原因。

•上述 0.05 的 P 值目标仅用于需要 95% 置信区间时。如果您想要 99% 的置信区间，请使用 0.01 等。

•参考文献 1 中的方法（Prism 使用的方法）比上述方法更巧妙，因此计算量更少。

•这种方法计算的置信区间只针对一个参数。我们的想法是，每个置信区间有 95% 的几率包含真实参数值。95% 并不适用于所有区间。我们期望 所有 置信区间都 有 95% 的概率  包含各自的真实参数值，这种 说法是不正确的  。

•在计算上述额外的平方和 F 检验时，请注意两个模型相差一个自由度。这是因为我们固定了一个参数，而让 Prism 去拟合其他参数。一些出版物（2）认为您固定的是所有参数，而不仅仅是一个参数。因此，输入 F 检验的两个模型相差 K 个自由度，其中 K 是拟合参数的数量。这些置信区间更宽，我认为其意图是 95% 置信水平同时适用于所有置信区间，而不是只适用于一个置信区间。棱镜不使用这种方法。使用棱镜时，被比较的两个模型总是相差一个自由度。

•我们使用的方法也是由 Watts（3）描述的。对于表 III 中的数据，Prism 与他在表 IV 中给出的结果相吻合。

•在某些情况下，该方法无法找到置信区间，只能报告"？

参考文献

1.Venzon DJ, Moolgavkar SH.基于剖面似然的置信区间计算方法。应用统计学。1988;37(1):87.

2.Kemmer, G., & Keller, S. (2010).Excel 电子表格中的非线性最小二乘数据拟合。自然协议》，5(2), 267-281. http://doi.org/10.1038/nprot.2009.182

3.Watts, D.G. (2010) Parameter estimates from nonlinear models, Chapter 2 of Essential Numerical Computer Methods by M Johnson, Academic Press 2010.