剖面似然不对称置信区间的基本概念

在Prism 7之前的版本中，Prism仅报告总是在最佳拟合值周围对称的渐近置信区间。

对于某些模型中的一些参数，不对称区间在表达精度方面效果更好。Prism（从版本7开始）为此提供了剖面似然置信区间，作为“非线性回归”对话框的“置信度”选项卡中的一种选择。缺点是很多人不熟悉，而且计算时间较长（但对于较快速的计算机，除非有大量数据集并选择了用户定义方程，否则甚至觉察不到）。

该想法很简单。额外平方和检验比较两种模型。  

•复杂模型是您选择的模型。整个结果页面均是该模型的。

•简单模型将一项参数固定为常数值。方法是将参数固定为各种值，直至找到置信限（如下所述）。

有一个算法非常简单，可解释该方法背后的构思。定义平方和为SS，自由度为DF。

1.将变量δ设置为要查找CI的参数的SE（然后对其他参数重复）。

2.将参数固定为其最佳拟合值减去δ，然后再次运行拟合，使所有其他参数值发生变化。记录该拟合的新SS和DF。

3.使用额外平方和F检验将原始最佳拟合与该拟合进行比较，使参数随Δ下降。第二个拟合保持一项参数为常数值，因此只需拟合较少的参数，即可获得更多自由度。计算P值。

a.如果P值小于0.05，则Δ太大。缩小该值，回到第2步。

b.如果P值大于0.05，则Δ太小。放大该值，回到第2步。

c.如果P值非常接近0.05，则置信下限等于原始最佳拟合值减去Δ当前值。

4.将参数固定为其最佳拟合值加上δ，然后再次运行拟合，使所有其他参数值发生变化。记录该拟合的SS和DF。

5.使用额外平方和F检验将原始最佳拟合与强制参数增加δ的拟合进行比较。计算P值。

a.如果P值小于0.05，则Δ太大。缩小该值，回到第4步。

b.如果P值大于0.05，则Δ太小。放大该值，回到第4步。

c.如果P值非常接近0.05，则置信上限等于原始最佳拟合值加上Δ当前值。

6.对每项参数重复上述步骤。

这为参数创建100*（1-α）%的置信区间（通常情况为95%置信区间，其中α设置为0.05）。如需测试真实参数值等于其最佳拟合值的零假设，则对于置信区间内的任何参数值，零假设均不会拒绝。

更正式地说：将θbf定义为参数的最佳拟合值，θhyp为参数的假设不同值。θbf=θhyp的零假设不会在置信区间内的任何θhyp值的α显著水平上被拒绝，但会在置信区间外的任何θhyp值上被拒绝。

Prism如何计算剖面似然置信区间

Prism实际上对每项参数使用Venzon和Moolgavkar（1）详述的步骤。该方法为每项参数创建似然剖面。对于参数的各种可能值，算法拟合曲线（优化其他参数），并确定数据出自该模型的似然性。置信区间是参数值的范围，似然性不会比其最大值低太多。当然，“过低”不是严格的定义。

最大似然性是参数的最佳拟合值。在文本中绘制这些剖面时，通常绘制的是似然性的负对数。最大似然与最小log（似然）相同，因此在这些图表中，最佳拟合值是X值，其中Y处于最小值。

如果假设所有残差均服从高斯分布，最大化似然性等于最小化平方和。

注释

•用于计算置信上限的最终Δ值可能不等于（或甚至只是接近）用于计算下限的最终Δ值。这就是置信区间在最佳拟合值周围不对称的原因。

•只有需要95%的置信区间时，才使用上述0.05的目标P值。如果需要99%的置信区间，使用0.01等。

•参考文献1中的方法（Prism使用的）比以上所述要巧妙得多，因此计算量更少。

•以这种方式计算的置信区间仅针对这一项参数。方法是每个置信区间有95%的机会包含真实的参数值。95%不适用于区间集。认为我们期望有95%的概率所有置信区间包括各自真实参数值不正确。

•计算上述F检验的额外平方和时，注意两个模型相差一个自由度。这是因为我们固定了一项参数，让Prism拟合其他参数。一些出版物（2）假设固定了所有参数，而不仅仅是一个。因此进行F检验的两个模型相差K个自由度，其中K是参数拟合数。这些区间更宽，我认为其目的是将95%置信水平同时应用于所有区间，而非一个区间。Prism未使用这种方法。使用Prism，比较的两个模型总是相差一个自由度。

•Watts也描述了我们使用的方法（3）。Prism匹配了其在表IV中给出的结果，用于表III中的数据。

•在某些情况下，该方法无法找到其中一个置信限和报告“???”而非值。

参考文献

1.Venzon DJ和Moolgavkar SH，一种基于剖面似然置信区间的计算方法。《应用统计学》。1988；37（1）87。

2.Kemmer, G.和Keller, S.（2010），Excel表格中的非线性最小二乘数据拟合。《自然-实验室指南》，5（2），267–281。http://doi.org/10.1038/nprot.2009.182

3.Watts, D.G.（2010），非线性模型的参数估计，M Johnson著的《基本数值计算机方法》第2章，美国学术出版社，2010。