稳健回归的需要

像线性回归一样，非线性回归假设理想曲线周围的数据分散遵循高斯或正态分布。这一假设引出了熟悉的回归目标：最小化点和曲线之间垂直距离或Y值距离的平方和。这种执行非线性（或线性回归）的标准方法称为 “最小二乘”。

实验错误会导致错误的值，这些值不是高就是过低- 异常值。即使是一个单独的异常值也可能影响平方和计算，并导致误导性的结果。解决该问题的一种方法是执行稳健拟合 使用对违反高斯假设不太敏感的方法。另一种方法是使用自动异常值消除法，识别并移除异常值，然后运行最小二乘回归。Prism提供了两个选择。异常值识别方法实际上首先进行稳健拟合，因此它具有一个基线，一个点离该基线太远时，即定义为异常值。然后在去除这些异常值后，对剩余点进行标准最小二乘拟合。

稳健回归的工作方法

根据数值分析方法库（1）中的建议，我们基于稳健拟合方法，假设曲线周围的变化遵循洛伦兹分布，而非高斯分布。这两种分布均是t分布族的一部分：

图中最宽分布，df=1的t分布，也称为洛伦兹分布或西分布。洛伦兹分布有宽尾，因此异常值相当普遍，因此对拟合的影响很小。

我们修改了Marquardt非线性回归算法，适应残差洛伦兹（而非高斯）分布的假设，并解释参考文献2中的细节。

何时选择稳健非线性回归有意义？

在Prism中，稳健回归的主要用途是作为“基线”，删除异常值。为更好理解去除异常值的方法（从稳健回归开始），可能想要尝试稳健回归。如果唯一目的是从标准曲线内推，且该标准曲线有一个或多个异常值，可能也会发现它很有用。

我们建议您在大多数情况下避免使用稳健回归（至少在由Prism实施的情况下），因为其存在以下缺点：

•稳健回归无法计算参数的标准误差或置信区间。

•稳健回归不能绘制置信度或预测带。

•稳健回归无法计算参数相互交织的程度。其不能计算协方差矩阵或依赖值。

•稳健回归无法比较两个模型或两个数据集的拟合程度。

在大多数情况下，无法比较模型并不重要。但无法提供诊断信息（SE、CI、协方差矩阵、相关性、置信度和预测带）严重限制了稳健回归在大多数研究中的实用性。

 

参考文献                                                                         

1.Press WH、Teukolsky SA、Vettering WT、Flannery BP： 科学计算艺术的数值分析方法库。 纽约州纽约：Cambridge University Press；1988。

2.Motulsky HM和Brown RE，在用非线性回归拟合数据时检测异常值 - 一种以鲁棒非线性回归和错误发现率为基础的新方法，《BMC生物信息学》（2016），7：123。下载为pdf。