常用（十进制）对数

理解对数的最好方法是通过本示例。如果把 10 乘以三次幂（10 x 10 x 10），结果就是 1000。对数就是这个幂函数的倒数。1000 的对数（10 为底）是 10 的检验力，得出的答案是 1000。因此，1000 的对数是 3。

您可以将 10 取负数幂。本示例中，10 的检验力为-3，等于103 的倒数。因此，10-3 等于 1/103，或 0.001。0.001 的对数就是等于 0.001 的 10 的检验力，也就是-3。

你可以把 10 化为小数幂。10 的 1/2 次幂等于 10 的平方根，即 3.163。所以 3.163 的对数是 0.5。

10 的零次幂等于 1，所以 1.0 的对数是 0.0。

你可以求任何正数的对数。介于 0 和 1 之间的数值的对数是负数；大于 1 的数值的对数是正数。零和所有负数的对数都是未定义的；没有任何 10 的检验力能给出负数或零。

其他基数的对数

上一节所示的对数称为 10 基对数，因为计算结果是 10 的某个检验力。这些对数也称为普通对数。

您可以计算任何检验力的对数。数学家更喜欢使用自然对数，以 e 为底（2.7183......）。 尽管有这个名字，但对大多数科学家来说，使用以 e 为底的对数似乎并不自然，他们往往更习惯于使用以 10 为底的对数。

生物学家有时会使用以 2 为底的对数，但往往没有意识到这一点。基 2 对数是达到一个值所需的加倍数。因此，16 的基 2 对数是 4，因为如果从 1 开始，加倍四次（2、4、8 和 16），结果就是 16。免疫学家通常将抗体按 2 倍进行连续稀释，因此经常用对数 2 标示数据。细胞生物学家使用 2 阶对数将细胞计数转换为倍增数。

使用不同基数的对数彼此成正比。因此，从自然对数转换为普通对数就像改变单位一样。用自然对数除以 2.303，计算出相同数值的公共对数。用普通对数乘以 2.303，得到相应的自然对数。

对数的数学性质

对数将乘法转化为加法，将除法转化为减法，将指数转化为乘法：

log(A.B) = log(A) + log(B)

 

log(A/B) = log(A) - log(B)

 

log(An) = n.log(A)

反比例

反比例（又称反对数）是对数变换的逆变换。由于 1000 的对数（10 为底）等于 3，因此 3 的反比例就是 1000。要计算以 10 为底的对数的反比例，需要把 10 的幂乘以 10。

要计算一个自然对数的反比例，把 e 除以这个幂。1000 的自然对数是 6.980。因此 6.908 的反比例是 e6.908，也就是 1000。电子表格和计算机语言使用的符号是 exp(6.908)。

听起来与对数相似的术语：logit 和 logistic

logistic一词听起来似乎与对数有关。事实上，logistic 一词有三个不同的含义，并不都涉及对数。

逻辑回归中使用的logit函数是概率（P，值在 0.0 和 1.0 之间）除以 1-P 的自然对数：

Logit(P)=ln[P/(1-P)]。

对数正态分布是一种数值对数服从高斯分布的分布。对数正态分布本身是不对称的，尾部偏右。人们很容易被这种不对称性误导，误将分布尾部的值作为异常值排除。

符号 "log(x) "可能有歧义

在Prism 变换和方程中，log() 函数计算的是普通（10 为底）对数。

在某些计算机语言（如 Javascript）中，log(x) 表示自然对数，而不是普通对数。Excel 尤其容易混淆。在 Excel 工作表函数中，log(X) 表示普通对数，但在 Excel VBA 宏中，log(X) 表示自然对数。

在Prism 中，符号 "ln(X) "是自然对数。

 

不要将对数与科学记数法混为一谈

考虑数值 0.000000001。可以写成 10-9。由于计算机程序无法处理下标，因此在大多数计算机程序（包括 GraphPadPrism 和 Excel）中，这个值被输入为 1e-9。这里的 "e"表示 "乘以 10 的检验力"。不要将科学符号与对数混淆。0.000000001 的对数是 -9。