常用（以10为底）对数

理解对数的最好方法是使用示例。如果您取10的三次幂（10×10×10），则结果为1000。对数是幂函数的倒数。1000的对数（以10为底）是10的幂次方，所得答案为1000。因此1000的对数为3。如果将10乘以自身3次，会得到1000。

可取10的负幂。例如，10的-3次幂与10的倒数的3次幂相同。因此，10-3 等于1/103，或者0.001。0.001的对数是10的幂次方（等于0.001），即-3。

可取10的分数幂。10的1/2次幂等于10的平方根，即3.163。因此3.163的对数为0.5。

10的零次幂等于1，因此1.0的对数为0.0。

可以取任何正数的对数。介于0-1之间的数值的对数为负数；大于1的数值的对数为正数。零和所有负数的对数均未定义；10的幂次方均不会得出负数或零。

采用其他底数的对数

上一部分中显示的对数称为以10为底的对数，因为计算需要取10的某些幂次方。这些对数又称 常见对数。

可以计算任何次幂的对数。数学家更喜欢自然对数，使用底数e（2.7183…）。尽管有该名称，但对于使用以10为底的对数往往更舒服的大多数科学家而言，使用以e为底数的对数似乎并不自然。

生物学家有时会使用以2为底的对数，但往往未意识到这一点。以2为底的对数是获得某个数值所需的倍数。因此，16的以2为底的对数为4，因为如果您从1开始加倍4次（2、4、8、16），结果为16。免疫学家经常使用因子2连续稀释抗体，因此经常在log2标度上绘制数据的图表。细胞生物学家使用以2为底的对数将细胞计数变换成加倍次数。

使用不同底数的对数彼此成比例。从自然对数变换至常用对数有点像改变单位。用自然对数除以2.303，计算出相同数值的常用对数。将常用对数乘以2.303，得到相应的自然对数。

对数的数学性质

对数将乘法变换为加法，将除法变换为减法，将幂运算变换为乘法：

log（A.B）=log（A）+log（B）

 

log（A/B）=log（A）-log（B）

 

log（An）=n.log（A）

逆对数

逆对数（又称“反对数”）是对数变换的倒数。由于1000的对数（以10为底）等于3，因此3的逆对数是1000。如需计算以10为底的对数的逆对数，取10的该幂次方。

如需计算自然对数的逆对数，取e的该幂次方。1000的自然对数是6.980。因此，6.908的反数是e6.908，即1000。电子表格和计算机语言使用记法exp（6.908）。

听起来类似于对数的术语：分对数和逻辑

“逻辑” 一词 听起来与对数有关。事实上，“逻辑”一词具有三种不同含义，但并非所有均涉及对数。

. 逻辑回归 中使用的logit函数是概率（P，其数值介于0.0-1.0之间）的自然对数除以1-P：

Logit（P）=ln[P/（1-P）]

. 对数正态 分布是数值分布，其对数遵循高斯分布。对数正态分布本身不对称，右侧有一条厚尾。这种不对称很容易会误导人，导致错误地将分布尾部的数值作为异常值排除出去。

记法“log（x）”会不明确

在Prism变换和方程中，log（）函数可以计算常见（以10为底）对数。

借助某些计算机语言（例如，Javascript），log（x）表示自然对数，而非常用对数。Excel尤其令人困惑。在Excel工作表函数中，log（X）是常用对数，但在Excel VBA宏中，log（X）是自然对数。

记法“ln（X）”是Prism中的自然对数。

 

请勿混淆对数与科学记法

考虑数值0.000000001。可将该值写成10-9。由于计算机程序不能处理下标，因此将该值输入大多数计算机程序（包括GraphPad Prism和Excel）中作为1e-9。‘e’在此处的意思是“将10乘以幂次方”。不要混淆该科学记法与对数。0.000000001的对数为-9。