峰度

峰度度量数据分布的尾部是否符合高斯分布。

•高斯分布的峰度为 0。

•如果尾部数值少于高斯分布，则峰度为负。

•尾部数值比高斯分布多（或尾部数值比高斯分布大）的分布为正峰度。

•峰度没有单位。

•虽然峰度通常被认为是用来测量峰值的形状，但实际上峰度并不能告诉你峰值的形状。它唯一明确的解读就是尾部的数值。从本质上讲，它衡量的是异常值的存在 (1)。

•由于高斯分布的期望值峰度为 0.0，因此 Prism 报告的值有时被称为过度 峰度。

•峰度的另一个定义是将 Prism 报告的值加上 3。根据这一定义，高斯分布的峰度应为 3.0。

如何计算峰度

1.从每个值中减去样本平均值，大于平均值的结果为正，小于平均值的结果为负，与平均值完全相等的结果为零。

2.用步骤 1 计算出的每个差值除以数值的标准偏差。这些比率（每个值与平均值之间的差除以标准偏差）称为 z 比率。根据定义，这些值的平均值为 0，标准偏差为 1。

3.计算每个值的z4。如果效果不好，那就是 z 的四次方检验力。 所有这些值都是正数。

4.用这些值的总和除以 n-1，得出平均值，其中 n 是样本中的值的个数。为什么是 n-1 而不是 n？与计算标准偏差时使用 n-1 的原因相同。

5.在高斯分布中，平均值应等于 3。因此，从平均数中减去 3。这个值（减去 3 后）有时被称为过度峰度。

为什么分布中间的值对峰度影响不大？

因为 z 值是取四次幂的，所以只有大的 z 值（因此只有远离均值的值）才会对峰度有很大的影响。如果一个值的 z 值为 1，而另一个值的 z 值为 2，那么第二个值对峰度的影响将是前者的 16 倍（因为 2 的四次方是 16）。如果一个值的 z 值为 1，而另一个值的 z 值为 3（因此与均值相差 3 倍），那么第二个值对峰度的影响将是前者的 81 倍（因为 3 的四次方是 81）。因此，接近均值的值（尤其是那些离均值小于 1 SD 的值）对峰度的影响很小，而远离均值的值对峰度的影响则很大。因此，峰度并不能量化峰度，也不能真正量化大部分分布的形状。相反，峰度可以量化远离均值的点的整体影响。

参考文献

1.Westfall, P. H. (2014).Kurtosis as Peakedness, 1905-2014.R.I.P. The American Statistician, 68(3), 191-195.