有关Kolmogorov - Smirnov检验的主要事实

•双样本Kolmogorov - Smirnov检验是一种比较两个数据集（1，2）累积分布的非参数检验。

•该检验是非参数检验。其不假设从高斯分布（或任何其他定义的分布）中选择数据抽样。

•如果将所有值转换为对数、倒数或进行任何转换，结果不会改变。KS检验报告了两个累积分布之间的最大差异，并根据该差异和样本量计算出P值。变换会拉伸（即使选择一个奇怪的变换，甚至会重新排列）频率分布的X轴，但不能改变两个频率分布之间的最大距离。

•将所有值转换成其秩也不会改变累积频率分布之间的最大差异（Lehmann，第35 - 36页，参考文献2）。因此，虽然检验分析的是实际数据，但其相当于秩分析。因此，该检验对异常值相当稳健（例如，Mann - Whitney检验）。

•零假设是两组均从具有相同分布的群体中抽样得到。其检验是否存在任何违反零假设的情况 - 不同的中值、不同的方差或不同的分布。

•由于相比于Mann - Whitney检验，其检验了更多零假设偏差，因此检测中值偏移的能力更小，但检测分布形状变化的能力更强（Lehmann，第39页）。

•由于该检验不比较任何特定参数（即，平均值或中值），因此不报告任何置信区间。

•如果结果（Y值）是分类结果（具有很多联系），不要使用Kolmogorov - Smirnov检验。仅对比率或区间数据（在此情况下联系很少）使用该检验。

•单尾和双尾P值的概念只在您观察一个具有两个可能方向（即，两个平均值的差值）的结果时才有意义。两个累积分布在很多方面均不同，因此尾部概念并不合适。Prism所报告的P值本质上有许多尾部。一些文本称之为双尾P值。

解读P值

P值回答了该问题：

如果这两个样本均从相同群体随机抽样得到，则这两个累积频率分布如同观测一样相距遥远的概率是多少？更准确地说，Komogorov - Smirnov D统计量与观测量相同或更大的概率是多少？

如果P值很小，则得出结论：这两个组均从具有不同分布的群体抽样得到。群体在中值、变异性或分布形状方面可能有所不同。

绘制累积频率分布图

KS检验的工作原理是比较两个累积频率分布，但未绘制这些分布图。为此，返回数据表，点击“分析”并选择“频率分布分析”。选择您想要创建的累积分布，并将相对频率列成表格。

不要混淆KS正态检验

混淆双样本Kolmogorov - Smirnov检验（该检验比较两个组）与单样本Kolmogorov - Smirnov检验（又称“Kolmogorov - Smirnov拟合优度检验”）非常容易，后者可以检验一个分布是否与理论预期相差太多。

单样本检验最常用作正态检验，用于比较单个数据集的数据分布和高斯分布的预测。Prism作为列统计分析的一部分，执行该正态检验。

与Mann - Whitney检验的比较

另外，Mann - Whitney检验还是一种用于比较两个非配对组的非参数检验。Mann - Whitney检验的工作原理是从低到高排列所有值，并比较两个组数值的平均秩。

Prism计算P值的方法

首先，Prism会生成两个累积相对频率分布，然后查询这两个分布在其相距最远的点上的距离。Prism使用了Lehmann解释的方法（2）。该距离报告为 Kolmogorov - Smirnov D。

P值基于累积频率分布之间的最大距离计算得到，考虑了两个组中的样本量。对于较大样本，使用了优异的近似值（2，3）。

当样本很小时，使用一种精确方法。当n1+n2值的n1值排列数小于60,000时（其中，n1和n2是两个样本量），Prism将其定义为平均值。因此，对这些配对组大小使用精确检验（括号中的两个数字是两个组中的数值数量）：

（2，2），（2，3）...（2，346）

（3，3），（3，4）...（3，69）

（4，4），（4，5）...（4，32）

（5，5），（5，6）...（5，20）

（6，6），（6，7）...（6，15）

（7，7），（7，8）...（7，12）

（8，8），（8，9），（8，10）

（9，9）

Prism在其精确算法（内部开发）中说明了关系。Prism在两个组之间系统地混合实际数据（保持样本量）。所报告的P值是这些重新混合数据集的分数，其中通过重新混合数据集计算得到的D大于或等于通过实际数据计算得到的D。

参考文献

1.Kirkman，T.W.（1996）待使用的统计数据：Kolmogorov - Smirnov检验。（2010年2月10日访问）

2.Lehmann，E.（2006），非参数：基于秩的统计方法。ISBN：978-0387352121

3.WH Press等人，《数值算法》，第三版，剑桥出版社，ISBN：0521880688